Corso di Algebra Universale (2020/21)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
- Classi Equazionali
- Polinomi e Algebre Polinomiali.
- Algebre Libere.
- Teorema HSP
- Mal’cev Type Theorems
- (Problema della Parola)
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 03/03/2021 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
- 05/03/2021 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
- 10/03/2021 – Relazioni, congruenze e kernel. Il primo teorema di isomorfismo.
- 12/03/2021 – Congruenze generate da una relazione.
- 17/03/2021 – Immagini dirette e inverse di omomorfismi e loro proprietà reticolari. Secondo teorema di isomorfismo.
- 19/03/2021 – Teorema di corrispondenza e terzo teorema di isomorfismo. Prodotti diretti.
- 24/03/2021 – Prodotti sottodiretti e algebre sottodirettamente irriducibili.
- 26/03/2021 – Reticolo delle congruenze delle algebre sottodirettamente irriducibili e Teorema di Birkhoff di rappresentazione sottodiretta.
- 31/03/2021 – “V = HSP” e sue conseguenze.
- 07/04/2021 – Reticoli completi e operatori di chiusura.
- 09/04/2021 – Cloni.
- 14/04/2021 – Il clone delle operazioni definibili di un’algebra.
- 16/04/2021 – Connessioni di Galois e relazione di invarianza rispetto alle operazioni.
- 21/04/2021 – Cloni come insiemi di operazioni invariati rispetto a delle relazioni.
- 23/04/2021 – Algebre assolutamente libere.
- 28/04/2021 – La congruenza di un’algebra associata a una classe di strutture
- 30/04/2021 – Algebre libere in una varietà.
- 05/05/2021 – Validità di un equazione in una classe di algebre.
- 07/05/2021 – Teorema di Birkhoff sulle varietà.
- 12/05/2021 – Condizioni alla Malcev.
14/05/2021 –- 19/05/2021 – Algebre finitamente presentabili e algebre parziali, proprietà dell’immersione finita e proprietà del modello finito.
- 21/05/2021 – Collegamenti tra FEP, FMP e SFMP.
- 26/05/2021 – Algebre residualmente finite.
- 28/05/2021 – Seminario Constraint Satisfaction Problems (CSP).
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Link Team
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
- venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
- Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
- Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Two isomorphism criteria for directed colimits
Using the general notions of finitely presentable and finitely generated object introduced by Gabriel and Ulmer in 1971, we prove that, in any (locally small) category, two sequences of finitely presentable objects and morphisms (or two sequences of finitely generated objects and monomorphisms) have isomorphic colimits (=direct limits) if, and only if, they are confluent. The latter means that the two given sequences can be connected by a back-and-forth chain of morphisms that is cofinal on each side, and commutes with the sequences at each finite stage. In several concrete situations, analogous isomorphism criteria are typically obtained by ad hoc arguments. The abstract results given here can play the useful rôle of discerning the general from the specific in situations of actual interest. We illustrate by applying them to varieties of algebras, on the one hand, and to dimension groups—the ordered $K_{0}$ of approximately finite-dimensional C*-algebras—on the other. The first application encompasses such classical examples as Kurosh’s isomorphism criterion for countable torsion-free Abelian groups of finite rank. The second application yields the Bratteli-Elliott Isomorphism Criterion for dimension groups. Finally, we discuss Bratteli’s original isomorphism criterion for approximately finite-dimensional C*-algebras, and show that his result does not follow from ours.
Two isomorphism criteria for directed colimits
