Corso di Matematiche Complementari II (2020/21)

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Descrizione del corso

Il corso sarà tenuto dai prof. G. Vincenzi e L. Spada. L’obiettivo è fornire conoscenza degli aspetti fondazionali della matematica nel loro sviluppo storico.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

La parte del corso riguardante i fondamenti coprirà i seguenti argomenti:

  • Il Programma di Hilbert.
  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici: Geometrie non euclidee.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Ordinali e Cardinali
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni tenute da Luca Spada.

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso.
  2. 10/03/2021 –
  3. 17/03/2021
  4. 24/03/2021
  5. 31/03/2021
  6. 07/04/2021
  7. 14/04/2021
  8. 21/04/2021
  9. 28/04/2021
  10. 07/04/2021
  11. 05/05/2021
  12. 12/05/2021

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno lunedì 1 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 16:00 alle 18:00 (Vincenzi), online su Teams.
    • mercoledì dalle 15:00 alle 17:00 (Spada), online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Un appello straordinario tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (per studenti fuoricorso o che abbiano conseguito almeno 140 CFU).
  • Due appelli nel periodo tra il 7 giugno 2021 e il 30 luglio 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’1 e il 30 settembre 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.
  • Due appelli nel periodo gennaio – febbraio 2022.

Corso di Algebra Universale (2020/21)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • (Problema della Parola)

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso.
  2. 05/03/2021

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Un appello straordinario tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (per studenti fuoricorso o che abbiano conseguito almeno 140 CFU).
  • Due appelli nel periodo tra il 7 giugno 2021 e il 30 luglio 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’1 e il 30 settembre 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.
  • Due appelli nel periodo gennaio-febbraio 2022.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Logica Matematica (2020/21)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 25/09/2020 – Introduzione al corso.
  2. 28/09/2020 – Il linguaggio formale. Conseguenza logica, tautologie e soddisfacibilità.
  3. 02/10/2020 – Completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  4. 05/10/2020 – Teorema di compattezza per la logica proposizionale.
  5. 09/10/2020 – Un’applicazione del Teorema di compattezza alla teoria dei grafi. La deduzione naturale.
  6. 12/10/2020 – Esempi di deduzioni naturali.
  7. 16/10/2020 – Teorie massimalmente coerenti e loro proprietà. Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  8. 19/10/2020 – Ordini parziali, ordini reticolari e reticoli.
  9. 23/10/2020 – Algebre di Boole e prime proprietà.
  10. 26/10/2020 – Omomorfismi, congruenze e sottalgebre.
  11. 30/10/2020 – Kernel e filtri. Corrispondenza tra filtri, congruenze e epimorfismi.
  12. 02/11/2020 – Filtri generati da un insieme, FIP. Ultrafiltri e loro prime proprietà.
  13. 06/11/2020 – Esistenza degli ultrafiltri. Teorema di Stone. Algebre di Boole liberamente generate.
  14. 09/11/2020 Termini booleani. Proprietà delle algebre libere.
  15. 13/11/2020 Teorema di completezza algebrica.
  16. 16/11/2020 – Sintassi della logica del prim’ordine. Sostituzioni.
  17. 20/11/2020 – Semantica della logica del prim’ordine.
  18. 23/11/2020 – Validità e equivalenza logica. Esempi di formule logicamente valide.
  19. 27/11/2020 – Forma normale prenessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine. Adeguatezza della deduzione naturale.
  20. 30/11/2020 – Estensioni conservative e teorie Henkin.
  21. 04/12/2020 – Teorema di completezza. Teorema di compattezza. Teoremi di Lowenheim-Skolem.
  22. 07/12/2020 – Ultraprodotti e teorema di compattezza.
  23. 11/12/2020 – Il teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti. Conclusioni

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dipsense: Ultima versione.
    • Attenzione: le dispense sono in corso di aggiornamento.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Versioni precedenti: 5.2, 5.1, 5.0, 4.0.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno venerdì 25 settembre su Microsoft Teams, appena possibile si terranno anche in presenza in modalità mista.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 11:15 alle 13:00, aula F3 online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:30, aula F6 online su Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Il tutorato si svolge nello stesso Team del corso. Questo è il piano degli incontri:

  • 27 novembre, ore 15:00
  • 4 dicembre, ore 15:00
  • 11 dicembre, ore 9:00
  • 14 dicembre, ore 10:30
  • 18 dicembre, ore 9:00
  • 21 dicembre, ore 11:15
  • Gli appuntamenti di gennaio sono da definire.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Due appelli nel periodo tra il 7 gennaio 2021 e il 26 febbraio 2021.
  • Un appello straordinario tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (per studenti fuoricorso o che abbiano conseguito almeno 140 CFU).
  • Due appelli nel periodo tra il 7 giugno 2021 e il 30 luglio 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’1 e il 30 settembre 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Are locally finite MV-algebras a variety?

Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).

The material is based on a Joint work with M. Abbadini (University of Milano).

Unification in Lukasiewicz logic with a finite number of variables

In this paper, coauthored with Marco Abbadini and Federica Di Stefano, we prove that the unification type of Lukasiewicz logic with a finite number of variables is either infinitary or nullary.  To achieve this result we use Ghilardi’s categorical characterisation of unification types in terms of projective objects,  the categorical duality between finitely presented MV-algebras and rational polyhedra, and a homotopy-theoretic argument.

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