Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2020/21)

Introduzione

La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica.  Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici.  Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo)

Argomenti del corso

  • Categorie, proprietà universali, funtori.
  • Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
  • Dualità concrete.
  • Lemma di Yoneda.
  • Sheaf e topos. Monadi.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni 

  • 26/04 – Introduzione, definizione di Categoria ed esempi.
  • 30/04 – Frecce moniche e epiche, oggetti iniziali e finali, prodotti e coprodotti.
  • 03/05 – Esempi di prodotti e co-prodotti. Equalizzatori e co-equalizzatori.
  • 07/05 – Pullback e Pushout. Categorie opposte. Funtori.
  • 10/05 – Trasformazioni naturali e lemma di Yoneda.
  • 14/05 –
  • 17/05 – Immersione di Yoneda. Funtori aggiunti.
  • 21/05 – Definizioni equivalenti di funtori aggiunti.
  • 24/05 – Ancora sui funtori aggiunti.
  • 28/05 – Monadi. La categoria di Kleisli di una monade.
  • 31/05 – La categoria di Eilenberg-Moore di una monade. Relazioni tra monadi e aggiunzioni.

Materiale del corso

  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.

Esame

È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:

  • Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
  • L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
  • La risoluzione a casa di alcuni esercizi.

Orario

Lunedì 9:30 – 11:30
Venerdì 11:00 – 13:00

Corso di Matematiche Complementari II (2020/21)

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Descrizione del corso

Il corso sarà tenuto dai prof. G. Vincenzi e L. Spada. L’obiettivo è fornire conoscenza degli aspetti fondazionali della matematica nel loro sviluppo storico.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

La parte del corso riguardante i fondamenti coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Ordinali e Cardinali.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni tenute da Luca Spada.

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Il sistema assiomatico.
  2. 10/03/2021 – Esempi di sistemi assiomatici e loro interpretazioni.
  3. 17/03/2021 – Un altro esempio: le flogghe che scorpano. Proprietà dei sistemi formali: coerenza e soddisfacibilità.
  4. 24/03/2021 – Indipendenza e completezza dei sistemi formali.
  5. 31/03/2021 – Lo sviluppo dei fondamenti tra il XVIII e XX secolo.
  6. 07/04/2021 – I primi assiomi di ZF.
  7. 14/04/2021 – Gli altri assiomi di ZF e loro prime conseguenze.
  8. 21/04/2021 – La costruzione di N, Z, Q e R all’interno di ZF. L’assioma di regolarità e l’assioma della scelta.
  9. 28/04/2021 – Insiemi transitivi, buoni ordini e Ordinali.
  10. 05/05/2021 – Proprietà degli insiemi ben ordinati e degli ordinali.
  11. 12/05/2021 – Il teorema di tricotomia. Operazioni sugli ordinali.
  12. 19/05/2021 – I cardinali. Conclusioni.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno lunedì 1 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 16:00 alle 18:00 (Vincenzi), online su Teams.
    • mercoledì dalle 15:00 alle 17:00 (Spada), online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi: 10 giugno 2021 e 13 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 6 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Corso di Algebra Universale (2020/21)

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Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • (Problema della Parola)

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
  2. 05/03/2021 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
  3. 10/03/2021 – Relazioni, congruenze e kernel. Il primo teorema di isomorfismo.
  4. 12/03/2021 – Congruenze generate da una relazione.
  5. 17/03/2021 – Immagini dirette e inverse di omomorfismi e loro proprietà reticolari. Secondo teorema di isomorfismo.
  6. 19/03/2021 – Teorema di corrispondenza e terzo teorema di isomorfismo. Prodotti diretti.
  7. 24/03/2021 – Prodotti sottodiretti e algebre sottodirettamente irriducibili.
  8. 26/03/2021 – Reticolo delle congruenze delle algebre sottodirettamente irriducibili e Teorema di Birkhoff di rappresentazione sottodiretta.
  9. 31/03/2021 – “V = HSP” e sue conseguenze.
  10. 07/04/2021 – Reticoli completi e operatori di chiusura.
  11. 09/04/2021 – Cloni.
  12. 14/04/2021 – Il clone delle operazioni definibili di un’algebra.
  13. 16/04/2021 – Connessioni di Galois e relazione di invarianza rispetto alle operazioni.
  14. 21/04/2021 – Cloni come insiemi di operazioni invariati rispetto a delle relazioni.
  15. 23/04/2021 – Algebre assolutamente libere.
  16. 28/04/2021 – La congruenza di un’algebra associata a una classe di strutture
  17. 30/04/2021 – Algebre libere in una varietà.
  18. 05/05/2021 – Validità di un equazione in una classe di algebre.
  19. 07/05/2021 – Teorema di Birkhoff sulle varietà.
  20. 12/05/2021 – Condizioni alla Malcev.
  21. 14/05/2021
  22. 19/05/2021 – Algebre finitamente presentabili e algebre parziali, proprietà dell’immersione finita e proprietà del modello finito.
  23. 21/05/2021 – Collegamenti tra FEP, FMP e SFMP.
  24. 26/05/2021 – Algebre residualmente finite.
  25. 28/05/2021 – Seminario Constraint Satisfaction Problems (CSP).

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.

Aspetti pratici

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Logica Matematica (2020/21)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 25/09/2020 – Introduzione al corso.
  2. 28/09/2020 – Il linguaggio formale. Conseguenza logica, tautologie e soddisfacibilità.
  3. 02/10/2020 – Completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  4. 05/10/2020 – Teorema di compattezza per la logica proposizionale.
  5. 09/10/2020 – Un’applicazione del Teorema di compattezza alla teoria dei grafi. La deduzione naturale.
  6. 12/10/2020 – Esempi di deduzioni naturali.
  7. 16/10/2020 – Teorie massimalmente coerenti e loro proprietà. Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  8. 19/10/2020 – Ordini parziali, ordini reticolari e reticoli.
  9. 23/10/2020 – Algebre di Boole e prime proprietà.
  10. 26/10/2020 – Omomorfismi, congruenze e sottalgebre.
  11. 30/10/2020 – Kernel e filtri. Corrispondenza tra filtri, congruenze e epimorfismi.
  12. 02/11/2020 – Filtri generati da un insieme, FIP. Ultrafiltri e loro prime proprietà.
  13. 06/11/2020 – Esistenza degli ultrafiltri. Teorema di Stone. Algebre di Boole liberamente generate.
  14. 09/11/2020 Termini booleani. Proprietà delle algebre libere.
  15. 13/11/2020 Teorema di completezza algebrica.
  16. 16/11/2020 – Sintassi della logica del prim’ordine. Sostituzioni.
  17. 20/11/2020 – Semantica della logica del prim’ordine.
  18. 23/11/2020 – Validità e equivalenza logica. Esempi di formule logicamente valide.
  19. 27/11/2020 – Forma normale prenessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine. Adeguatezza della deduzione naturale.
  20. 30/11/2020 – Estensioni conservative e teorie Henkin.
  21. 04/12/2020 – Teorema di completezza. Teorema di compattezza. Teoremi di Lowenheim-Skolem.
  22. 07/12/2020 – Ultraprodotti e teorema di compattezza.
  23. 11/12/2020 – Il teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti. Conclusioni

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dipsense: Ultima versione.
    • Attenzione: le dispense sono in corso di aggiornamento.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Versioni precedenti: 5.2, 5.1, 5.0, 4.0.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno venerdì 25 settembre su Microsoft Teams, appena possibile si terranno anche in presenza in modalità mista.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 11:15 alle 13:00, aula F3 online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:30, aula F6 online su Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Il tutorato si svolge nello stesso Team del corso. Questo è il piano degli incontri:

  • 27 novembre, ore 15:00
  • 4 dicembre, ore 15:00
  • 11 dicembre, ore 9:00
  • 14 dicembre, ore 10:30
  • 18 dicembre, ore 9:00
  • 21 dicembre, ore 11:15
  • Gli appuntamenti di gennaio sono da definire.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli invernali: 7 gennaio 2021 e 8 gennaio 2021 (entrambi a distanza).
  • Appello straordinario primaverile: tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (entrambi a distanza).
  • Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Are locally finite MV-algebras a variety?

Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).

The material is based on a joint work with M. Abbadini (University of Salerno).

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