Corso di Logica Matematica (2020/21)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 25/09/2020 – Introduzione al corso.
  2. 28/09/2020 – Il linguaggio formale. Conseguenza logica, tautologie e soddisfacibilità.
  3. 02/10/2020 – Completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  4. 05/10/2020 – Teorema di compattezza per la logica proposizionale.
  5. 09/10/2020 – Un’applicazione del Teorema di compattezza alla teoria dei grafi. La deduzione naturale.
  6. 12/10/2020 – Esempi di deduzioni naturali.
  7. 16/10/2020 – Teorie massimalmente coerenti e loro proprietà. Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  8. 19/10/2020 – Ordini parziali, ordini reticolari e reticoli.
  9. 23/10/2020 – Algebre di Boole e prime proprietà.
  10. 26/10/2020 – Omomorfismi, congruenze e sottalgebre.
  11. 30/10/2020 – Kernel e filtri. Corrispondenza tra filtri, congruenze e epimorfismi.
  12. 02/11/2020 – Filtri generati da un insieme, FIP. Ultrafiltri e loro prime proprietà.
  13. 06/11/2020 – Esistenza degli ultrafiltri. Teorema di Stone. Algebre di Boole liberamente generate.
  14. 09/11/2020 Termini booleani. Proprietà delle algebre libere.
  15. 13/11/2020 Teorema di completezza algebrica.
  16. 16/11/2020 – Sintassi della logica del prim’ordine. Sostituzioni.
  17. 20/11/2020 – Semantica della logica del prim’ordine.
  18. 23/11/2020
  19. 27/11/2020
  20. 30/11/2020
  21. 04/12/2020
  22. 07/12/2020

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dipsense: Ultima versione.
    • Attenzione: le dispense sono in corso di aggiornamento.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Versioni precedenti: 5.1, 5.0, 4.0.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno venerdì 25 settembre su Microsoft Teams, appena possibile si terranno anche in presenza in modalità mista.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 11:15 alle 13:00, aula F3 online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:30, aula F6 online su Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Da definire

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Due appelli nel periodo tra il 7 gennaio 2021 e il 26 febbraio 2021.
  • Un appello straordinario tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (per studenti fuoricorso o che abbiano conseguito almeno 140 CFU).
  • Due appelli nel periodo tra il 7 giugno 2021 e il 30 luglio 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’1 e il 30 settembre 2021.
  • Un appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Are locally finite MV-algebras a variety?

Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).

The material is based on a Joint work with M. Abbadini (University of Milano).

Unification in Lukasiewicz logic with a finite number of variables

In this paper, coauthored with Marco Abbadini and Federica Di Stefano, we prove that the unification type of Lukasiewicz logic with a finite number of variables is either infinitary or nullary.  To achieve this result we use Ghilardi’s categorical characterisation of unification types in terms of projective objects,  the categorical duality between finitely presented MV-algebras and rational polyhedra, and a homotopy-theoretic argument.

An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)

This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.

Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.

The (tentative) course calendar is as follows:

  • Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
  • Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of \mathcal{C}-sets and six examples. Representable \mathcal{C}-sets and their computation in the examples.
  • Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of \mathcal{C}-sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
  • Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every \mathcal{C}-set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
  • Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of \mathcal{C} and the full subcategory of continuous objects in Sets^{\mathcal{C}^{op}}.
  • Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
  • Tuesday, 28 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
  • Wednesday, 29 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
  • Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
  • Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
  • Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
  • Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.

The references for the course are:

  • F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
  • Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
  • MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
  • Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
  • Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).

Corso di Logica Matematica 1 (2018/19)

Aggiornamenti

Pubblicato (più sotto) il calendario aggiornato del tutorato.

Visto l’alto numero di studenti frequentanti a partire da lunedì 8 ottobre le lezioni si terranno in aula P5.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 1/10/2018 – Introduzione al corso. Sintassi della logica proposizionale, tavole di verità.
  2. 3/10/2018 – Conseguenza logica, completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  3. 8/10/2018 – Tautologie fondamentali, teorema di compattezza per la logica proposizionale e una sua applicazione alla teoria dei grafi.
  4. 9/10/2018 – La deduzione naturale
  5. 15/10/2018 – Teorie massimamente coerenti e loro proprietà.
  6. 16/10/2018 – Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  7. 22/10/2018 – Algebre di Boole, prime proprietà.
  8. 23/10/2018 – Termini e equazioni nel linguaggio delle algebre di Boole.
  9. 29/10/2018 – Omomorfismi, congruenze, kernel e filtri delle algebre di Boole.
  10. 30/10/2018 – Filtri e ultrafiltri.
  11. 5/11/2018 – Caratterizzazione degli ultrafiltri, teorema di Stone.
  12. 6/11/2018 – Algebre di Boole libere. Le algebre di Lindenbaum-Tarski.
  13. 12/11/2018 – Proprietà delle algebre di Boole.
  14. 13/11/2018 – Teorema di completezza algebrica.
  15. 19/11/2018 – Introduzione alla logica del primo ordine: linguaggi, strutture, interpretazioni, sostituzioni.
  16. 20/11/2018 – Validità di una formula in una struttura.  Teorema di forma normale premessa.
  17. 26/11/2018 – La deduzione naturale per la logica del prim’ordine: definizione e adeguatezza.
  18. 27/11/2018 –  Teorie Henkin. Estensioni conservative.
  19. 3/12/2018 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine.
  20. 4/12/2018 – Teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù. Teorema di compattezza. Teorema di Löwenheim-Skolem all’insù.
  21. 10/12/2018 – Ultraprodotti.  Il teorema di Łos.
  22. 11/12/2018 – Il teorema di compattezza come corollario del Teorema di Łos.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dispense (ultima versione). (Vecchie versioni: V. 3).
    • Attenzione: le dispense continueranno a essere aggiornate e migliorate.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il primo ottobre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 12:00, aula P5
    • martedì dalle 9:00 alle 11:00, aula P5.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Docente: Serafina Lapenta.

Orario:  martedì 14:15 – 16:15 Aula P5.

I prossimi incontri di tutorato si terranno nei seguenti giorni:

  • 6 novembre 2018,
  • 20 novembre 2018,
  • 4 dicembre 2018,
  • 18 dicembre 2018.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale
    •  23 gennaio 2019.
  • Secondo appello invernale
    •  20 febbraio 2019.
  • Appello straordinario.
    • 15 aprile 2019.
  •  Primo appello estivo.
    •  giugno 2019.
  •  Secondo appello estivo.
    • luglio 2019.
  •  Terzo appello estivo.
    • settembre 2018.
  •  Appello straordinario.
    • novembre 2018.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

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