PhD Course on Category Theory (Jan-Feb 2017)

Page contents

News

Contents

  • Categories and functors. Universal objects.
  • Natural transformations.  Adjoint functors and equivalences.
  • Dualities: Stone, Gelfand, Pontryagin.

Course material

Homework

Practicalities

  • Lecturer: Luca Spada
  • Length of the course: 10 hours.

Dates/rooms:

  • Lectures will take place is Sala Riunioni, Department of Mathematics.
  • Lectures will be scheduled as follows:
    • Tuesday 17 of January, from 11:00 to 13:00;
    • Thursday 19 of January, from 11:00 to 13:00;
    • Tuesday 24 of January, from 11:00 to 13:00;
    • Thursday 26 of January, from 11:00 to 13:00;
    • Tuesday 7 of February, from 11:00 to 13:00;

Comments, complaints, questions: please write to Luca Spada

An expansion of Basic Logic with fixed points

Abstract: We introduce an expansion of Basic Logic (BL) with new connectives which express fixed points of continuous formulas, i.e. formulas of BL whose connectives are among {&,∨,∧}. The algebraic semantics of this logic is studied together with some of its subclasses corresponding to extensions of the above-mentioned expansion. The axiomatic extensions are proved to be standard complete.

Preprint

 

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale

(I semestre 2016/17)

Contenuti della pagina

News

Pubblicati i risultati della terza prova. Vedi.

Pubblicati i risultati della seconda prova. Vedi.

Due lezioni perse verranno recuperate mercoledì 7 dicembre e mercoledì 21 dicembre.  Entrambe in aula E dalle 16:30 alle 18:30.

Pubblicati i risultati della prima prova. Vedi.

Pubblicata la traccia della seconda prova. Vedi.

La lezione persa per San Matteo verrà recuperata mercoledì 26 ottobre alle 16:30 in Aula E.

 

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Successioni e serie numeriche.
  • Funzioni reali a una variabile: continuità, derivate e integrali.

Più dettagliatamente, qui sotto sono elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 14/09/2016 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.
  2. 15/09/2016 – Relazioni: relazioni d’ordine, relazioni di equivalenza. Funzioni: iniettività, suriettività, biezioni, monotonia.  Insiemi numerici.
  3. 16/09/2016 – Massimi e minimi. Maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore di un insieme ordinato.
  4. 21/09/2016 – San Matteo.  Non c’è lezione.
  5. 22/09/2016 – Rappresentazione cartesiana.  Vettori e operazioni tra vettori.  Spazi vettoriali e sottospazi. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare.*
  6. 23/09/2016 – Base di uno spazio vettoriale, dimensione.*
  7. 28/09/2016 – Teorema di Rouché-Capelli in forma vettoriale.*  Disequazioni algebriche.
  8. 29/09/2016 – Disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche.
  9. 30/09/2016 – Funzioni trigonometriche. Cenni sui numeri complessi.
  10. 05/10/2016– Forma trigonometrica dei numeri complessi.  Potenze radici di numeri complessi.  Dominio di una funzione. Principio di Induzione.
  11. 06/10/2016 – Esercitazione.
  12. 07/10/2016 – Descrizioni analitiche della retta: equazione implicita, esplicita e parametrica. Fascio di rette per un punto.
  13. 12/10/2016 – Esercitazione.
  14. 13/10/2016 – Prima prova intermedia.
  15. 14/10/2016 – Definizione di successione e convergenza di una successione.
  16. 19/10/2016 – Successioni convergenti divergenti e non regolari.
  17. 20/10/2016 – Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze.
  18. 21/10/2016 – Criteri di confronto per le successioni e limiti notevoli: potenze, radici e trigonometrici.
  19. 26/10/2016 – Successioni monotone e loro proprietà. Il numero di Nepero e.
  20. 26/10/2016 – Esercitazione.
  21. 27/10/2016 – Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e loro proprietà. Stima degli errori.
  22. 28/10/2016 – Limiti di funzioni.
  23. 02/11/2016 – Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte.
  24. 03/11/2016 – Funzioni continue, discontinuità.  Teoremi sulle funzioni continue: permanenza del segno, esistenza degli zeri, esistenza dei valori intermedi.
  25. 04/11/2016 – Teorema di Weierstrass.  Relazioni tra monotonia e funzioni continue.  Grafico di una funzione.
  26. 09/11/2016 – Derivate: interpretazione fisica e geometrica.
  27. 10/11/2016 – Formule per le derivate: somma, prodotto e frazione; funzione composta, funzione inversa.  Teorema di Fermat.
  28. 11/11/2016 – Teorema di Rolle e teorema di Lagrange. Esercitazione.
  29. 16/11/2016 – Uso delle derivate per la ricerca di massimi e minimi.
  30. 17/11/2016 – Seconda prova intermedia.
  31. 18/11/2016 – Derivate seconde. Criterio di convessità. Teorema di de l’Hôpital (senza dimostrazione).
  32. 23/11/2016 – Integrale definito. Idea intuitiva e definizione tramite somme integrali inferiori e superiori.
  33. 24/11/2016 – Proprietà degli integrali definiti. Teorema di Cantor e integrabili delle funzioni continue.
  34. 25/11/2016 – Teorema della media. Integrali indefiniti.
  35. 30/11/2016 –  Non c’è lezione.
  36. 01/12/2016 – Integrali elementari. Scomposizione in somma.  Integrazione per parti.  Integrazione per sostituzione.
  37. 02/12/2016 – Calcolo di aree e di volumi di solidi di rotazione.  Integrali impropri.
  38. 07/12/2016 – Formula di Taylor con resto di Peano, resto integrale e resto  di Lagrange (quest’ultimo senza dimostrazione).
  39. 07/12/2016 – Integrali di funzioni razionali e sostituzioni di Eulero.
  40. 08/12/2016 – Festa dell’Immacolata. Non c’è lezione.
  41. 09/12/2016 – Non c’è lezione.
  42. 14/12/2016 – Introduzione alle serie.  Criterio di Cauchy e teorema del resto.
  43. 15/12/2016 – Serie geometrica e serie armonica generalizzata. Criterio del confronto e criterio degli infinitesimi.
  44. 16/12/2016 – Criterio della radice.  Criterio di convergenza per serie a segni alternati. Convergenza assoluta.
  45. 21/12/2016 – Esercitazione.
  46. 21/12/2016 – Esercitazione.
  47. 22/12/2016 – Terza prova intermedia.
  48. 23/12/2016 – Esercitazione.

* Gli argomenti di algebra lineare non sono richiesti né all’esame scritto né all’orale.

Materiale del corso

  • Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Analisi Matematica. Vol 1, Liguori Editore.
  • Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Esercitazioni di Matematica. Vol 1 e 2, Liguori Editore.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 90 ore.
  • CFU: 9

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il 13 settembre.
  • Ci sono tre lezioni a settimana:
    1. mercoledì dalle 8:45 alle 10:30, aula A.
    2. giovedì dalle 14:30 alle 16:30, aula A.
    3. venerdì dalle 8:45 alle 10:30, aula A.

Esercizi/Esami

Esame:

  • Ci saranno tre prove di esonero durante il corso.  Chi conseguirà un voto medio pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale.  Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto a gennaio e ai seguenti appelli.
  • È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
  • Per poter partecipare all’esame è sempre necessario registrarsi su esse3, in caso di difficoltà rivolgersi alle segreterie.
  • All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.
  • Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
  • L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • scritto: lunedì 23 gennaio 2017, ore 9:00 (aula A).
    • orale (i candidati verranno chiamati in ordine alfabetico, cominciando da chi ha superato le prove intermedie, ci saranno circa 30 orali al giorno):
      • 24 gennaio dalle 15:00 alle 19:00 Aula E.
      • 25 gennaio dalle 15:00 alle 19:00 Aula E.
      • 26 gennaio dalle 15:00 alle 19:00 Aula F.
      • 27 gennaio dalle 9:00 alle 12:00 Aula A.
  • scritto: martedì 14 febbraio 2017, ore 9:00 (aula da definire).
    • orale: 15 e 16 febbraio (aula da definire).

Prove intermedie:

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Matematica I per Scienze Ambientali

Corso di Matematica I per Scienze Ambientali

(I semestre 2016/17)

Contenuti della pagina

News

Pubblicati gli esiti della terza prova, vedi più sotto.

Le lezioni dell’OFA si terranno a partire da martedì 10 gennaio con il seguente orario:

  • Martedì 14:00 – 16:00 Aula F7
  • Mercoledì 14:00 – 16:00 Aula F7
  • Giovedì 10:00 – 12:00 Aula F7

Pubblicati gli esiti della seconda prova, vedi più sotto.

Il tutorato inizierà mercoledì 2 novembre e si terrà ogni mercoledì e venerdì nell’aula F7 dalle 16:00 alle 18:00.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Algebra lineare.
  • Funzioni reali a una variabile: continuità e derivate, studio di funzione.

Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 04/10/2016 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.
  2. 06/10/2016 – Calcolo combinatorio.
  3. 11/10/2016 – Definizione di funzione.  Vettori: prodotto per uno scalare e prodotto scalare; combinazione lineare.
  4. 13/10/2016 – Trigonometria: funzioni seno e coseno e loro proprietà. Interpretazione del prodotto scalare.  Dipendenza lineare tra vettori.
  5. 18/10/2016 – Spazio vettoriale.  Base di un insieme di vettori. Matrici: somma e prodotto righe per colonne.
  6. 20/10/2016 – Matrici di rotazione.  Determinante di una matrice.
  7. 25/10/2016 – Soluzioni di sistemi lineari omogenei e completi. Teorema di Rouché-Capelli.
  8. 27/10/2016 – Diagonalizzazione di matrici. Autovalori e autovettori.
  9. 1/11/2016 – Ognissanti.
  10. 3/11/2016 – Funzioni reali in una variabile. Dominio di una funzione. Iniettività e suriettività. Funzioni composte. Funzioni monotone.
  11. 8/11/2016 – Funzioni elementari: funzioni lineari e funzioni potenza.
  12. 10/11/2016 – Funzioni elementari: esponenziale e logaritmo.
  13. 15/11/2016 – Limiti di funzioni. Proprietà dei limiti.
  14. 17/11/2016 –  Limiti notevoli. Funzioni continue. Ordini di infinito e di infinitesimo. Successioni.
  15. 22/11/2016 – Limiti destro e sinistro.  Tipi di discontinuità.
  16. 24/11/2016 – Derivate.  Regolo per il calcolo delle derivate.  Uso delle derivate per trovare massimi e minimi locali e lo studio della convessità.  Cenni sulla formula di Taylor.
  17. 29/11/2016 – Non ci sarà lezione.
  18. 01/12/2016 – Teorema di de l’Hôpital.  Applicazioni delle derivate.
  19. 06/12/2016 – Esercitazione.
  20. 08/12/2016 – Festa dell’Immacolata.
  21. 13/12/2016 – Tutorato.
  22. 15/12/2016 – Prova finale.
  23. 20/12/2016 – Tutorato.
  24. 22/12/2016 – Tutorato.

Materiale del corso

  • Il testo di riferimento principale è: Dario Benedetto, Mirko Degli Espositi, Carlotta Maffei. Matematica per le Scienze della Vita. Casa Editrice Ambrosiana. 2008

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (10 settimane).
  • CFU: 6
  • Frequenza: non obbligatoria.

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il 4 ottobre 2016.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    1. martedì dalle 14:00 alle 16:00, Aula F7
    2. giovedì dalle 9:00 alle 12:00, Aula F7.
  • Il tutorato si tiene ogni mercoledì e venerdì dalle 16:00 alle 18:00 in aula F7.

Esercizi/Esami

Eventuali esercizi assegnati durante il corso possono essere trovati qui sotto.

Appelli d’esame:

  • 17 gennaio 2017, ore 15:00, aula F7. Traccia della prova scritta 2017-01-17. Risultati 2017-01-17.
  • 7 febbraio 2017, ore 15:00, aula F7.
  • 11 aprile 2017 (riservato a fuoricorso), ore 15:00, aula F7.
  • 13 giugno 2017, ore 15:00, aula F7.
  • 4 luglio 2017, ore 15:00, aula F7.
  • 19 settembre 2017, ore 15:00, aula F7.
  • 7 novembre 2017 (riservato a fuoricorso), ore 15:00, aula F7.

Informazioni sugli esami:

  • L’esame è scritto e orale.
  • È sempre necessario presentarsi agli esami con un documento di riconoscimento.
  • È assolutamente necessario registrarsi su esse3 per poter sostenere l’esame, anche per chi deve solo sostenere l’orale.
  • All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.
  • Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
  • Durante il corso saranno assegnate due prove da svolgere a casa e una finale da fare in classe.  In caso di valutazione positiva di tutte le prove si è esonerati dallo scritto.
    • Le prove intermedie si terranno nella settimana dal 31/10 al 6/11 e nella settimana dal 21/11 al 27/11.  La prova finale si terrà l’ultima settimana del corso.
    • È possibile collaborare per la risoluzione delle prove intermedie, ma
      • a gruppi di non più di tre persone,
      • i collaboratori vanno indicati esplicitamente nella prove e
      • la stesura delle risposte va scritta soli.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Soft Computing Days

From the 23d to the 25th of May the Department of Mathematics will host “Soft Computing Days“, a bilateral workshop China-Italy .  We look forward to meeting you there.

 

Next Page »