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Corso di Logica Matematica 1 (2018/19)

Aggiornamenti

Pubblicato (più sotto) il calendario aggiornato del tutorato.

Visto l’alto numero di studenti frequentanti a partire da lunedì 8 ottobre le lezioni si terranno in aula P5.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 1/10/2018 – Introduzione al corso. Sintassi della logica proposizionale, tavole di verità.
2. 3/10/2018 – Conseguenza logica, completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
3. 8/10/2018 – Tautologie fondamentali, teorema di compattezza per la logica proposizionale e una sua applicazione alla teoria dei grafi.
4. 9/10/2018 – La deduzione naturale
5. 15/10/2018 – Teorie massimamente coerenti e loro proprietà.
6. 16/10/2018 – Teorema di completezza per la logica proposizionale.
7. 22/10/2018 – Algebre di Boole, prime proprietà.
8. 23/10/2018 – Termini e equazioni nel linguaggio delle algebre di Boole.
9. 29/10/2018 – Omomorfismi, congruenze, kernel e filtri delle algebre di Boole.
10. 30/10/2018 – Filtri e ultrafiltri.
11. 5/11/2018 – Caratterizzazione degli ultrafiltri, teorema di Stone.
12. 6/11/2018 – Algebre di Boole libere. Le algebre di Lindenbaum-Tarski.
13. 12/11/2018 – Proprietà delle algebre di Boole.
14. 13/11/2018 – Teorema di completezza algebrica.
15. 19/11/2018 – Introduzione alla logica del primo ordine: linguaggi, strutture, interpretazioni, sostituzioni.
16. 20/11/2018 – Validità di una formula in una struttura.  Teorema di forma normale premessa.
17. 26/11/2018 – La deduzione naturale per la logica del prim’ordine: definizione e adeguatezza.
18. 27/11/2018 –  Teorie Henkin. Estensioni conservative.
19. 3/12/2018 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine.
20. 4/12/2018 – Teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù. Teorema di compattezza. Teorema di Löwenheim-Skolem all’insù.
21. 10/12/2018 – Ultraprodotti.  Il teorema di Łos.
22. 11/12/2018 – Il teorema di compattezza come corollario del Teorema di Łos.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense (ultima versione). (Vecchie versioni: V. 3).
  • Attenzione: le dispense continueranno a essere aggiornate e migliorate.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il primo ottobre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 9:00 alle 12:00, aula P5
  • martedì dalle 9:00 alle 11:00, aula P5.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Docente: Serafina Lapenta.

Orario:  martedì 14:15 – 16:15 Aula P5.

I prossimi incontri di tutorato si terranno nei seguenti giorni:

• 6 novembre 2018,
• 20 novembre 2018,
• 4 dicembre 2018,
• 18 dicembre 2018.

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

• Primo appello invernale
  •  23 gennaio 2019.
• Secondo appello invernale
  •  20 febbraio 2019.
• Appello straordinario.
  • 15 aprile 2019.
•  Primo appello estivo.
  •  giugno 2019.
•  Secondo appello estivo.
  • luglio 2019.
•  Terzo appello estivo.
  • settembre 2018.
•  Appello straordinario.
  • novembre 2018.

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale (2018/19)

Descrizione del corso

News

• Pubblicati gli esiti finale delle prove intermedie.
• La lezione di mercoledì 31 ottobre si terrà in Aula M (Edificio E2).
• Pubblicate le date delle prove intermedie, vedere qui sotto.
• È stato aggiornato l’orario del tutorato.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C
• Funzioni elementari reali a una variabile: valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
• Successioni in R, limiti.
• Proprietà delle funzioni continue.
• Derivate.
• Integrali definiti e indefiniti.
• Serie numeriche.

Più dettagliatamente, qui sotto sono elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 11/09/2018 – Introduzione al corso. Connettivi logici, quantificatori.
2. 12/09/2018 – Insiemi e operazioni tra di essi. Relazioni e funzioni.
3. 18/09/2018 – Non ci sarà lezione.
4. 19/09/2018 – Relazioni d’ordine, inf e sup. Insiemi numerici, assiomatizzazione dei numeri reali.
5. 25/09/2018 – Prime conseguenze degli assiomi.
6. 26/09/2018 – Funzioni elementari e loro prime proprietà: funzione lineare, valore assoluto, funzioni potenze e radici ennesime, funzione esponenziale e logaritmica.
7. 2/10/2018 – Funzioni trigonometriche (sen, cos, tg, cotg, arcsen, arccos,..). Numeri complessi, formula di De Moivre per calcolare radici n-sime di numeri complessi.
8. 3/10/2018 – Disequazioni polinomiali, razionali, irrazionali, logaritmiche e esponenziali.  Introduzione al concetto di successione.
9. 9/10/2018 –  Limiti di successioni, prime proprietà.
10. 10/10/2018 – Successioni limitate, operazioni con i limiti, teoremi di confronto, limiti notevoli.
11. 16/10/2018 – Esercitazione.
12. 17/10/2018 – Prima prova intermedia.
13. 23/10/2018 – Il numero di Nepero, le successioni definite per ricorrenza, gli ordini di infinito e il criterio del rapporto.
14. 24/10/2018 – Teorema di Bolzano Weierstrass, successioni di Cauchy.
15. 30/10/2018 – Definizioni di limite di una funzione. Equivalenze tra di esse.
16. 31/10/2018 – Prime proprietà dei limiti. Funzioni continue: definizione e teoremi della permanenza del segno, dell’esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
17. 6/11/2018 – Continuità di somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue.  Introduzione alle derivate, significato analitico e geometrico della derivata.  Prime proprietà delle derivate.
18. 7/11/2018 – Derivate di somme, prodotti, rapporti, composizioni e inverse di funzioni reali.  Derivate delle funzioni elementari.
19. 13/11/2018 – Applicazioni delle derivate per la ricerca dei massimi e minimi di una funzione e per lo studio della concavità.
20. 14/11/2018 – Cenni sulla formula di Taylor.  Studio del grafico di funzione.
21. 20/11/2018 – Esercitazione.
22. 21/11/2018 – Seconda prova intermedia.
23. 27/11/2018 – Definizione di integrale di Riemann.
24. 28/11/2018 – Prime proprietà degli integrali definiti.
25. 4/12/2018 – Teorema fondamentale del calcolo integrale.  Integrali indefiniti e loro proprietà. Formula di Taylor con resto integrale.
26. 5/12/2018 – Integrali impropri.  Algebra degli o-piccoli.  Lo sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti.
27. 11/12/2018 – Serie numeriche, definizioni e prime proprietà.
28. 12/12/2018 – Criteri di convergenza per le serie.
29. 18/11/2018 – Esercitazione
30. 19/11/2018 – Prova finale.

Materiale del corso

• Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
• Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Esercitazioni di Matematica. Vol 1 parte prima e parte seconda, Liguori Editore.
• Questo formulario sarà consultabile durante gli esami scritti.  Eventuali proposte di integrazione possono essere inviate via email al docente.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Tutor: Sara Vannucci e Carmine MonettaIl tutorato si tiene il giovedì:
  • • Gruppo 1: dalle 11:30 alle 14:30 in aula 126
  • • Gruppo 2: dalle 14:30 alle 17:30 in aula N

Crediti/ore:

• Durata: 90 ore (15 settimane).
• CFU: 9

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno l’11 settembre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • martedì dalle 15:45 alle 18:15,
  • mercoledì dalle 12:30 alle 15:00.
• Il tutorato si tiene tutti i giovedì a partire dal 17 settembre:
  • Gruppo 1: dalle 11:30 alle 14:30 in aula 126
  • Gruppo 2: dalle 14:30 alle 17:30 in aula N.

Esercizi/Esami

Esame:

• Ci saranno tre prove di esonero durante il corso.  Chi conseguirà un voto medio pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale.  Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto a gennaio e ai seguenti appelli.
• È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
• Per poter partecipare all’esame finale è assolutamente necessario registrarsi su esse3, in caso di difficoltà rivolgersi alle segreterie.
• All’esame scritto e durante le prove intermedie è possibile usare il formulario a questo link.
• Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
• L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Primo appello invernale:
  • esame scritto: 17 gennaio 2019, 9:30 aula C. Traccia con soluzioni. Esiti
  • esame orale (si procede in ordine alfabetico, cominciando da chi ha passato le prove intermedie):
    • 18 gennaio 2019 a partire dalla 9:30, aula 136
    • 21 gennaio 2019 a partire dalla 9:30, aula 136
    • 22 gennaio 2019 a partire dalla 9:30, aula 119
• Secondo appello invernale:
  • esame scritto: 7 febbraio 2019, aula da definire.
  • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
• Primo appello fuori corso:
  • esame scritto: aprile 2019, date da definire.
  • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
• Secondo appello fuori corso
  • esame scritto: maggio 2019, date da definire.
  • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
• Primo appello estivo
  • esame scritto: metà giugno 2019, date da definire.
  • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
• Secondo appello estivo
  • esame scritto: metà luglio 2019, date da definire.
  • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
• Terzo appello estivo
  • esame scritto: inizio settembre 2019, date da definire.
  • esame orale: date da definire.

Prove intermedie:

Le prove intermedie si terranno:

• prima prova: mercoledì 17 ottobre dalle 12:30 alle 15:00. Traccia A con soluzioni. Traccia B con soluzioni. Esiti.
• seconda prova: mercoledì 21 novembre dalle 12:30 alle 15:00. Traccia A con soluzioni. Traccia B con soluzioni. Esiti
• terza prova: mercoledì 19 dicembre dalle 12:30 alle 15:00. Traccia A, Traccia B.  Esiti finali prove intermedie.
• Chi supera le prove intermedie può sostenere l’orale negli appelli di gennaio, febbraio, giugno o luglio.
• Per sostenere l’orale è comunque necessario registrarsi per l’appello su esse3 (come per fare lo scritto, ma presentandosi direttamente all’orale).
• Tracce 2016: Traccia 1, Traccia 2, Traccia 3, Traccia 4, Traccia 5,  Traccia 6, Traccia 7, Traccia 8.
• Tracce 2017: Traccia 1, Traccia 2, Traccia 3, Traccia 4, Prima prova intermedia A, Prima prova intermedia B, Seconda prova intermedia A,  Seconda prova intermedia B, Terza prova intermedia A, Terza prova intermedia B.

PhD Course, Category Theory (May-June 2018)

Contents of the page

• Announcements
• Topics of the course
• Course material
• Practical information

Announcements

Topics of the course

• Categories, universal properties, functors.
• Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
• Concrete dualities.
• Yoneda Lemma.
• Sheaves and topoi.

Course material

• Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
• Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic,  Dover Publications  2006.
• Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.

Practicalities

• Lecturer: Luca Spada
• Duration of the course: 20 hours.

Preliminary programme

• Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
• Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
• Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
• Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
• Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
• Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
• Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;

General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities

At last, we have finished and submitted our paper on “General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities” co-authored with Olivia Caramello and Vincenzo Marra.

Abstract. We introduce and investigate a category-theoretic abstraction of the standard “system-solution” adjunction in affine algebraic geometry. We then look further into these geometric adjunctions at different levels of generality, from syntactic categories to (possibly infinitary) equational classes of algebras. In doing so, we discuss the relationships between the dualities induced by our framework and the well-established theory of concrete dual adjunctions. In the context of general algebra we prove an analogue of Hilbert’s Nullstellensatz, thereby achieving a complete characterisation of the fixed points on the algebraic side of the adjunction.

The preprint is available on arXiv.  We made another preprint available some years ago(!), but the manuscript has changed in many respects.  The main differences between the two versions on arXiv are the following:

1. The comparison with the existing literature is now more thorough.
2. The categories R and D are now taken directly without passing through the quotient categories. In our opinion, this is cleaner and, as a consequence, it is now clearer what are the minimal assumption on the triplet I: T -> S.
3. There is now a section studying the issue of concreteness of the adjunction and comparing with the theory of concrete adjunction.

Corso di Logica Matematica 1 (2017/18)

News

Attenzione: su richiesta degli studenti l’Help Teaching è stato spostato a settembre 2018.  Il calendario è disponibile più in basso.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 4/10/2017 – Introduzione al corso, tavole di verità.
2. 5/10/2017 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica, equivalenza logica.
3. 11/10/2017 – Completezza funzionale dei connettivi negazione e congiunzione.  Forme normali congiuntive e disgiuntive. Teorema di compattezza. Un’applicazione ai grafi del teorema di compattezza.
4. 12/10/2017 – Deduzione naturale.
5. 18/10/2017 – Teorema di completezza.
6. 19/10/2017 – Algebre di Boole: definizione e prime proprietà.
7. 25/10/2017 – Algebre di Boole: omomorfismi, kernel e sottoalgebre.
8. 26/10/2017 – Algebre di Boole: teorema di omomorfismo, algebre libere.
9. 1/11/2017 – Non ci sarà lezione.
10. 2/11/2017 – Non ci sarà lezione.
11. 8/11/2017 – Algebre di Boole: filtri e filtri massimali.
12. 9/11/2017 – Teorema di rappresentazione di Stone.
13. 15/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
14. 16/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
15. 22/11/2017 – Introduzione alla logica del primo ordine.
16. 23/11/2017 – Sintassi e semantica della logica del prim’ordine.  Prime proprietà.
17. 29/11/2017 – Deduzione naturale al prim’ordine.
18. 30/11/2017 – Verso la completezza della logica del prim’ordine.
19. 6/12/2017 – Non ci sarà lezione.
20. 7/12/2017 – Non ci sarà lezione.
21. 13/12/2017 – La completezza della logica del prim’ordine.  Teorema di compattezza e applicazioni.
22. 14/12/2017 – Ultraprodotti e ultrapotenze.
23. 20/12/2017 – Dimostrazione del teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti.
24. 21/12/2017 – Non ci sarà lezione.
25. 22/01/2018 – Seminari (ore 10, aula da definire).

Materiale del corso

• Dispense:
  versione 4.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il 4 di ottobre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • mercoledì dalle 11:00 alle 14:00,
  • giovedì dalle 12:30 alle 14:00.

Esercizi/Esami

Help Teaching:

Docente: Gaetano Vitale.

L’Help Teaching comincerà a settembre 2018, il calendario è il seguente:

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

• Primo appello invernale
  • 24 gennaio 2018.
• Secondo appello invernale
  • 7 febbraio 2018.
• Appello straordinario.
  • 11 aprile 2018.
•  Primo appello estivo.
  • 20 giugno 2018.
•  Secondo appello estivo.
  • 18 luglio 2018.
•  Terzo appello estivo.
  • 19 settembre 2018.
•  Appello straordinario.
  • 21 novembre 2018.