An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)

This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.

Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.

The (tentative) course calendar is as follows:

  • Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
  • Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of \mathcal{C}-sets and six examples. Representable \mathcal{C}-sets and their computation in the examples.
  • Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of \mathcal{C}-sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
  • Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every \mathcal{C}-set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
  • Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of \mathcal{C} and the full subcategory of continuous objects in Sets^{\mathcal{C}^{op}}.
  • Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
  • Tuesday, 28 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
  • Wednesday, 29 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
  • Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
  • Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
  • Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
  • Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.

The references for the course are:

  • F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
  • Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
  • MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
  • Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
  • Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).
April 8th, 2019 | Luca Spada | Tags: , , , , .
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Corso di Logica Matematica 1 (2018/19)

Aggiornamenti

Pubblicato (più sotto) il calendario aggiornato del tutorato.

Visto l’alto numero di studenti frequentanti a partire da lunedì 8 ottobre le lezioni si terranno in aula P5.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 1/10/2018 – Introduzione al corso. Sintassi della logica proposizionale, tavole di verità.
  2. 3/10/2018 – Conseguenza logica, completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  3. 8/10/2018 – Tautologie fondamentali, teorema di compattezza per la logica proposizionale e una sua applicazione alla teoria dei grafi.
  4. 9/10/2018 – La deduzione naturale
  5. 15/10/2018 – Teorie massimamente coerenti e loro proprietà.
  6. 16/10/2018 – Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  7. 22/10/2018 – Algebre di Boole, prime proprietà.
  8. 23/10/2018 – Termini e equazioni nel linguaggio delle algebre di Boole.
  9. 29/10/2018 – Omomorfismi, congruenze, kernel e filtri delle algebre di Boole.
  10. 30/10/2018 – Filtri e ultrafiltri.
  11. 5/11/2018 – Caratterizzazione degli ultrafiltri, teorema di Stone.
  12. 6/11/2018 – Algebre di Boole libere. Le algebre di Lindenbaum-Tarski.
  13. 12/11/2018 – Proprietà delle algebre di Boole.
  14. 13/11/2018 – Teorema di completezza algebrica.
  15. 19/11/2018 – Introduzione alla logica del primo ordine: linguaggi, strutture, interpretazioni, sostituzioni.
  16. 20/11/2018 – Validità di una formula in una struttura.  Teorema di forma normale premessa.
  17. 26/11/2018 – La deduzione naturale per la logica del prim’ordine: definizione e adeguatezza.
  18. 27/11/2018 –  Teorie Henkin. Estensioni conservative.
  19. 3/12/2018 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine.
  20. 4/12/2018 – Teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù. Teorema di compattezza. Teorema di Löwenheim-Skolem all’insù.
  21. 10/12/2018 – Ultraprodotti.  Il teorema di Łos.
  22. 11/12/2018 – Il teorema di compattezza come corollario del Teorema di Łos.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dispense (ultima versione). (Vecchie versioni: V. 3).
    • Attenzione: le dispense continueranno a essere aggiornate e migliorate.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il primo ottobre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 12:00, aula P5
    • martedì dalle 9:00 alle 11:00, aula P5.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Docente: Serafina Lapenta.

Orario:  martedì 14:15 – 16:15 Aula P5.

I prossimi incontri di tutorato si terranno nei seguenti giorni:

  • 6 novembre 2018,
  • 20 novembre 2018,
  • 4 dicembre 2018,
  • 18 dicembre 2018.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale
    •  23 gennaio 2019.
  • Secondo appello invernale
    •  20 febbraio 2019.
  • Appello straordinario.
    • 15 aprile 2019.
  •  Primo appello estivo.
    •  giugno 2019.
  •  Secondo appello estivo.
    • luglio 2019.
  •  Terzo appello estivo.
    • settembre 2018.
  •  Appello straordinario.
    • novembre 2018.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

September 26th, 2018 | Luca Spada | Categories: Teaching | Comments: No Comments

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale (2018/19)

Descrizione del corso

News

  • Pubblicati gli esiti finale delle prove intermedie.
  • La lezione di mercoledì 31 ottobre si terrà in Aula M (Edificio E2).
  • Pubblicate le date delle prove intermedie, vedere qui sotto.
  • È stato aggiornato l’orario del tutorato.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C
  • Funzioni elementari reali a una variabile: valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
  • Successioni in R, limiti.
  • Proprietà delle funzioni continue.
  • Derivate.
  • Integrali definiti e indefiniti.
  • Serie numeriche.

Più dettagliatamente, qui sotto sono elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 11/09/2018 – Introduzione al corso. Connettivi logici, quantificatori.
  2. 12/09/2018 – Insiemi e operazioni tra di essi. Relazioni e funzioni.
  3. 18/09/2018 – Non ci sarà lezione.
  4. 19/09/2018 – Relazioni d’ordine, inf e sup. Insiemi numerici, assiomatizzazione dei numeri reali.
  5. 25/09/2018 – Prime conseguenze degli assiomi.
  6. 26/09/2018 – Funzioni elementari e loro prime proprietà: funzione lineare, valore assoluto, funzioni potenze e radici ennesime, funzione esponenziale e logaritmica.
  7. 2/10/2018 – Funzioni trigonometriche (sen, cos, tg, cotg, arcsen, arccos,..). Numeri complessi, formula di De Moivre per calcolare radici n-sime di numeri complessi.
  8. 3/10/2018 – Disequazioni polinomiali, razionali, irrazionali, logaritmiche e esponenziali.  Introduzione al concetto di successione.
  9. 9/10/2018 –  Limiti di successioni, prime proprietà.
  10. 10/10/2018 – Successioni limitate, operazioni con i limiti, teoremi di confronto, limiti notevoli.
  11. 16/10/2018 – Esercitazione.
  12. 17/10/2018 – Prima prova intermedia.
  13. 23/10/2018 – Il numero di Nepero, le successioni definite per ricorrenza, gli ordini di infinito e il criterio del rapporto.
  14. 24/10/2018 – Teorema di Bolzano Weierstrass, successioni di Cauchy.
  15. 30/10/2018 – Definizioni di limite di una funzione. Equivalenze tra di esse.
  16. 31/10/2018 – Prime proprietà dei limiti. Funzioni continue: definizione e teoremi della permanenza del segno, dell’esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
  17. 6/11/2018 – Continuità di somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue.  Introduzione alle derivate, significato analitico e geometrico della derivata.  Prime proprietà delle derivate.
  18. 7/11/2018 – Derivate di somme, prodotti, rapporti, composizioni e inverse di funzioni reali.  Derivate delle funzioni elementari.
  19. 13/11/2018 – Applicazioni delle derivate per la ricerca dei massimi e minimi di una funzione e per lo studio della concavità.
  20. 14/11/2018 – Cenni sulla formula di Taylor.  Studio del grafico di funzione.
  21. 20/11/2018 – Esercitazione.
  22. 21/11/2018 – Seconda prova intermedia.
  23. 27/11/2018 – Definizione di integrale di Riemann.
  24. 28/11/2018 – Prime proprietà degli integrali definiti.
  25. 4/12/2018 – Teorema fondamentale del calcolo integrale.  Integrali indefiniti e loro proprietà. Formula di Taylor con resto integrale.
  26. 5/12/2018 – Integrali impropri.  Algebra degli o-piccoli.  Lo sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti.
  27. 11/12/2018 – Serie numeriche, definizioni e prime proprietà.
  28. 12/12/2018 – Criteri di convergenza per le serie.
  29. 18/12/2018 – Esercitazione
  30. 19/12/2018 – Prova finale.

Materiale del corso

  • Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
  • Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Esercitazioni di Matematica. Vol 1 parte prima e parte seconda, Liguori Editore.
  • Questo formulario sarà consultabile durante gli esami scritti.  Eventuali proposte di integrazione possono essere inviate via email al docente.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 90 ore (15 settimane).
  • CFU: 9

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno l’11 settembre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • martedì dalle 15:45 alle 18:15,
    • mercoledì dalle 12:30 alle 15:00.
  • Il tutorato si tiene tutti i giovedì a partire dal 17 settembre:
    • Gruppo 1: dalle 11:30 alle 14:30 in aula 126
    • Gruppo 2: dalle 14:30 alle 17:30 in aula N.

Esercizi/Esami

Esame:

  • Ci saranno tre prove di esonero durante il corso.  Chi conseguirà un voto medio pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale.  Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto a gennaio e ai seguenti appelli.
  • È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
  • Per poter partecipare all’esame finale è assolutamente necessario registrarsi su esse3, in caso di difficoltà rivolgersi alle segreterie.
  • All’esame scritto e durante le prove intermedie è possibile usare il formulario a questo link.
  • Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
  • L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale:
    • esame scritto: 17 gennaio 2019, 9:30 aula C. Traccia con soluzioni. Esiti
    • esame orale (si procede in ordine alfabetico, cominciando da chi ha passato le prove intermedie):
      • 18 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 136
      • 21 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 136
      • 22 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 119
  • Secondo appello invernale:
    • esame scritto: 7 febbraio 2019, 9:30 aula C. Traccia con soluzioni. Esiti.
    • esame orale:
      • 8 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula 129.
      • 11 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula A.
      • 12 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula M.
  • Primo appello fuori corso:
    • esame scritto: 25 marzo 2019.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Secondo appello fuori corso
    • esame scritto: 15 aprile 2019.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Primo appello estivo
  • Secondo appello estivo
    • esame scritto: 15 luglio 2019, ore 15:00 aula O. Traccia con soluzioni. Esiti.
    • esame orale: a partire dalle 9:30 di martedì 16 luglio, aula O.
  • Terzo appello estivo
    • esame scritto: 9 settembre 2019, aula da definire.
    • esame orale: a partire dal 10 settembre.

Prove intermedie:

Le prove intermedie si terranno:

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

August 31st, 2018 | Luca Spada | Categories: Teaching | Comments: No Comments

PhD Course, Category Theory (May-June 2018)

Contents of the page

Announcements

Topics of the course

  • Categories, universal properties, functors.
  • Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
  • Concrete dualities.
  • Yoneda Lemma.
  • Sheaves and topoi.

Course material

Practicalities

  • Lecturer: Luca Spada
  • Duration of the course: 20 hours.

Preliminary programme

  • Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
  • Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
  • Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
  • Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;

Comments, complaints, questions: write to Luca Spada

April 3rd, 2018 | Luca Spada | Tags: , , , , , , , , , .
Categories: Teaching | Comments: No Comments

General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities

At last, we have finished and submitted our paper on “General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities” co-authored with Olivia Caramello and Vincenzo Marra.

Abstract. We introduce and investigate a category-theoretic abstraction of the standard “system-solution” adjunction in affine algebraic geometry. We then look further into these geometric adjunctions at different levels of generality, from syntactic categories to (possibly infinitary) equational classes of algebras. In doing so, we discuss the relationships between the dualities induced by our framework and the well-established theory of concrete dual adjunctions. In the context of general algebra we prove an analogue of Hilbert’s Nullstellensatz, thereby achieving a complete characterisation of the fixed points on the algebraic side of the adjunction.

The preprint is available on arXiv.  We made another preprint available some years ago(!), but the manuscript has changed in many respects.  The main differences between the two versions on arXiv are the following:

  1. The comparison with the existing literature is now more thorough.
  2. The categories R and D are now taken directly without passing through the quotient categories. In our opinion, this is cleaner and, as a consequence, it is now clearer what are the minimal assumption on the triplet I: T -> S.
  3. There is now a section studying the issue of concreteness of the adjunction and comparing with the theory of concrete adjunction.
March 14th, 2018 | Luca Spada | Tags: , , , , , , , , , .
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