Corso di Logica per l’anno 0 (DIIN, 2023/24)
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Descrizione del corso
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Durante il corso verrà illustrato agli studenti il linguaggio base e gli strumenti essenziali della matematica che costituiscono i fondamenti per affrontare un qualsiasi esami di matematica. Alla fine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di gestire autonomamente concetti elementari di logica, di teoria elementare degli insiemi e delle funzioni e dei numeri reali.
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Elementi di logica:
- Connettivi logici: congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione, doppia implicazione.
- Tavole di verità.
- Conseguenza logica e equivalenza logica.
- Quantificatori universali e esistenziali e loro negazioni.
- Dimostrazioni per contronominale e per assurdo.
- Elementi di teoria degli insiemi:
- Relazione di appartenenza.
- Elementi e sottoinsiemi di un insieme.
- Inclusione, unione, intersezione, complemento; insieme delle parti e prodotto cartesiano;
- Relazioni e funzioni (iniettive/suriettive/biiettive), grafici di funzioni (esempi di vario tipo, fra cui le funzioni elementari e funzioni definite a tratti).
- Concetto di partizione di un insieme. Relazioni di equivalenza e insiemi quozienti. Relazioni ordine parziali e totali, massimo, minimo, massimale, minimale, inf, sup.
- Numeri naturali e principio di induzione.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 26 settembre 2023 Introduzione al corso e test auto valutativo.
- 28 settembre 2023 Le ambiguità del linguaggio naturale: esiste, oppure, tutti e soli.
- 3 ottobre 2023
- 5 ottobre 2023
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M.Bramanti-G.Travaglini: Matematica. Questione di Metodo -Zanichelli (2009)
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 60 ore (12 settimane).
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno la settimana del 25 settembre 2023.
- Ci sono due lezioni a settimana, una di 2 ore e una di 3.
Esercizi/Esami
Esame:
- La valutazione del raggiungimento degli obiettivi prefissati avviene mediante un test a risposta multipla.
Appelli d’esame:
- 2 nel periodo gennaio-febbraio
- 2 nel periodo giugno-luglio
Corso di Fondamenti della Matematica (2023/24)
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Descrizione del corso
La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?
Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?
Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?
Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?
Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.
In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Il metodo assiomatico e alcuni esempi.
- Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
- Il Programma di Hilbert.
- Modelli per una nozione formale di calcolabilità.
- Cenni sui teoremi di Gödel.
- La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
- Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
- Ordinali e Cardinali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Le flogghe che scoprano.
- 26 settembre 2023 Un altro esempio di sistema assiomatico: geometria in miniatura.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
- G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
- S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
- G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.
Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno lunedì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Lunedì dalle 15:00 alle 17:00, Aula F3.
- Martedì dalle 09:00 alle 11:00, Aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)
Appelli d’esame:
Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
- 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
- 2 ottobre 2023
- 4 ottobre 2023
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
Lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 2 appelli nel periodo giugno-luglio.
- Appello autunnale: 1 appello a settembre.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Corso di Logica Matematica (2023/24)
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Descrizione del corso
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sintassi della logica proposizionale.
- Deduzione naturale per la logica proposizionale.
- Semantica della logica proposizionale.
- Algebre di Boole.
- Teorema di completezza della logica proposizionale.
- Sintassi della logica del prim’ordine.
- Semantica della logica del prim’ordine.
- Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
- Ultraprodotti.
- Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
- Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 27 settembre 2023 Introduzione al corso. Le formule ben formate.
- 28 settembre 2023 Tavole di verità, valutazioni, tautologie, conseguenza logica, contraddizioni.
- 4 ottobre 2023
- 5 ottobre 2023
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
- Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
- J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
- Dispense: Dispense-v6.1.
- Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori. Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti. Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Tutor: Erra Crescenzo
Crediti/ore:
- Durata: 56 ore (11 settimane).
- CFU: 7
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 27 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Mercoledì dalle 9:00 alle 11:00, aula F3.
- Giovedì dalle 11:00 alle 14:00, aula F6.
- La data di inizio del tutorato non è ancora stabilita. Al suo avvio gli incontri si terranno di venerdì dalle 16:00 alle 18:00 aula P5 (Totale 6 incontri di 2 ore ciascuno).
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2022/23)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff
- Categorie, funtori
- Costruzioni universali
- Teorie di Lawvere
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 28/02/2022 – Introduzione al corso
- 01/03/2022 – Tipi algebrici, omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti.
- 07/03/2022 – Sottouniversi generati e sottalgebre.
- 08/03/2022 – Omomorfismi e congruenze. Il primo teorema di isomorfismo.
- 14/03/2022 – Richiami di teoria dei reticoli. Reticoli e operatori di chiusura.
- 15/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 21/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 22/03/2022 – Connessioni di Galois: proprietà ed esempi.
- 28/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
- 29/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
- 04/04/2022 – Rappresentazioni dirette.
- 05/04/2022 – Rappresentazioni sottodirette.
- 12/04/2022 – Il teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 18/04/2022 – Il teorema HSP.
- 19/04/2022 – Algebre dei termini e algebre libere per una classe.
- 26/04/2022 – Teorema di esistenza delle algebre libere.
- 02/05/2022 – Il teorema di Birkhoff.
- 03/05/2022 – Introduzione alla teoria delle categorie.
- 09/05/2022 – Sottocategorie, categorie opposte e categorie comma. Oggetti iniziali e terminali.
- 10/05/2022 – Prodotti, coprodotti, equalizzatori e co-equalizzatori, limiti e co-limiti.
- 16/05/2022 – Funtori e trasformazioni naturali.
- 17/05/2022 – Aggiunzioni e equivalenze.
- 23/05/2022 –
- 24/05/2022 –
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
martedì dalle 10:00 alle 11:45, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
mercoledì dalle 9:30 alle 11:00, Aula P19, piano 2, Edificio F3.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 2 appelli nel periodo giugno-luglio.
- Appello autunnale: 1 appello a settembre.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
